Просмотр исходного текста страницы Числа с плавающей точкой (Float)

Числа с плавающей точкой (или числа с плавающей запятой) — это способ представления вещественных чисел в компьютерах, позволяющий хранить числа с дробной частью. В отличие от целых чисел, числа с плавающей точкой могут представлять более широкий диапазон значений за счет использования экспоненциальной записи.

== Представление чисел с плавающей точкой ==

Числа с плавающей точкой обычно представляются в формате, стандартизированном стандартом IEEE 754. Этот стандарт определяет несколько форматов, наиболее распространенными из которых являются:

# '''Одинарная точность (Single-precision)''': 32 бита.
# '''Двойная точность (Double-precision)''': 64 бита.

Формат IEEE 754 состоит из трех основных частей:

# '''Знак (Sign)''': 1 бит. Определяет знак числа (0 — положительное, 1 — отрицательное).
# '''Экспонента (Exponent)''': Несколько бит (8 бит для одинарной точности, 11 бит для двойной точности). Представляет порядок числа.
# '''Мантисса (Mantissa) или значащие цифры (Significand)''': Несколько бит (23 бита для одинарной точности, 52 бита для двойной точности). Представляет значащие цифры числа.

Формула для вычисления значения числа с плавающей точкой:
$$ (-1)^{sign} \times significand \times 2^{exponent - bias} $$

Где:

# `sign` — бит знака.
# `significand` — мантисса (нормализованное значение).
# `exponent` — значение экспоненты.
# `bias` — смещение (bias), используемое для представления экспоненты как положительного числа.

== Нормализация ==

Для увеличения точности числа с плавающей точкой нормализуются. Это означает, что мантисса представляется в виде числа между 1 (включительно) и 2 (исключительно). Например, число 0.5 представляется как $1.0 \times 2^{-1}$.

== Смещение (Bias) ==

Экспонента представляется со смещением, чтобы избежать необходимости хранения знака экспоненты. Смещение вычисляется по формуле:
$$ bias = 2^{k-1} - 1 $$

Где `k` — количество битов, используемых для представления экспоненты.

Для одинарной точности: $bias = 2^{8-1} - 1 = 127$
Для двойной точности: $bias = 2^{11-1} - 1 = 1023$

== Особые значения ==

Стандарт IEEE 754 определяет несколько особых значений:

# '''Ноль (Zero)''': Представляется как все биты равные нулю.
# '''Бесконечность (Infinity)''': Представляется как максимальное значение экспоненты и нулевая мантисса. Используется для представления результатов, которые слишком велики для представления в виде числа с плавающей точкой.
# '''Не число (NaN - Not a Number)''': Представляется как максимальное значение экспоненты и ненулевая мантисса. Используется для представления результатов, которые не являются числами (например, деление нуля на ноль).

== Примеры ==

# '''Пример представления числа 5.0 в формате одинарной точности (32 бита):'''
## Знак: 0 (положительное число)
## Экспонента: 129 (10000001 в двоичной системе)
## Мантисса: 1.25 (10100000000000000000000 в двоичной системе)
## Полное представление: 0 10000001 10100000000000000000000
# '''Пример представления числа -0.75 в формате одинарной точности (32 бита):'''
## Знак: 1 (отрицательное число)
## Экспонента: 126 (01111110 в двоичной системе)
## Мантисса: 1.5 (11000000000000000000000 в двоичной системе)
## Полное представление: 1 01111110 11000000000000000000000

== Проблемы чисел с плавающей точкой ==

# '''Ограниченная точность''': Числа с плавающей точкой имеют ограниченную точность, что может приводить к ошибкам округления.
# '''Невозможность точного представления некоторых чисел''': Некоторые десятичные числа (например, 0.1) не могут быть точно представлены в двоичной системе счисления, что приводит к небольшим ошибкам при выполнении арифметических операций.
# '''Сравнение чисел с плавающей точкой''': Из-за ошибок округления прямое сравнение чисел с плавающей точкой на равенство может быть ненадежным. Вместо этого рекомендуется сравнивать числа с определенной погрешностью (эпсилон).

== Практические рекомендации ==

# '''Используйте числа с плавающей точкой двойной точности (double)''', если требуется высокая точность.
# '''Избегайте прямого сравнения чисел с плавающей точкой на равенство'''. Вместо этого сравнивайте их с определенной погрешностью.
# '''Помните об ошибках округления''', особенно при выполнении большого количества арифметических операций.
# '''Используйте специализированные библиотеки''', если требуется высокая точность или работа с большими числами.

== Применение ==

Числа с плавающей точкой используются в широком спектре приложений, включая:

# Научные вычисления.
# Инженерные расчеты.
# Компьютерная графика.
# Финансовые вычисления.
# Игры.

Понимание чисел с плавающей точкой и их ограничений является важным для разработки надежного и точного программного обеспечения.