Просмотр исходного текста страницы Целые числа (Integer)

Целые числа — это числа, которые могут быть записаны без дробной части. Например, 21, 4, 0 и −2048 являются целыми числами, а 9.75, $\frac{1}{2}$ и $\sqrt{2}$ не являются.

== Множество целых чисел ==

Множество всех целых чисел обычно обозначается символом '''Z''' (или $$\mathbb{Z}$$) и включает в себя:

# Положительные целые числа (натуральные числа): 1, 2, 3, ...
# Отрицательные целые числа: -1, -2, -3, ...
# Ноль: 0

Формально, $$\mathbb{Z} = \{..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...\}$$

== Свойства целых чисел ==

# '''Замкнутость относительно операций''':
## Сложение: Если `a` и `b` — целые числа, то `a + b` также является целым числом.
## Вычитание: Если `a` и `b` — целые числа, то `a - b` также является целым числом.
## Умножение: Если `a` и `b` — целые числа, то `a * b` также является целым числом.
## Деление: Деление целых чисел не всегда приводит к целому числу (например, `5 / 2 = 2.5`).
# '''Коммутативность''':
## Сложение: `a + b = b + a` для любых целых чисел `a` и `b`.
## Умножение: `a * b = b * a` для любых целых чисел `a` и `b`.
# '''Ассоциативность''':
## Сложение: `(a + b) + c = a + (b + c)` для любых целых чисел `a`, `b` и `c`.
## Умножение: `(a * b) * c = a * (b * c)` для любых целых чисел `a`, `b` и `c`.
# '''Дистрибутивность''':
## Умножение дистрибутивно относительно сложения: `a * (b + c) = a * b + a * c` для любых целых чисел `a`, `b` и `c`.
# '''Существование нейтрального элемента''':
## Сложение: Ноль является нейтральным элементом для сложения: `a + 0 = a` для любого целого числа `a`.
## Умножение: Единица является нейтральным элементом для умножения: `a * 1 = a` для любого целого числа `a`.
# '''Существование противоположного элемента''':
## Для каждого целого числа `a` существует противоположное число `-a`, такое что `a + (-a) = 0`.

== Представление целых чисел в компьютерах ==

В компьютерах целые числа обычно представляются с использованием двоичной системы счисления. Существует несколько способов представления целых чисел:

# '''Беззнаковые целые числа''': Представляют только положительные числа и ноль.
# '''Знаковые целые числа''': Представляют как положительные, так и отрицательные числа. Существует несколько способов представления знаковых чисел:
## '''Прямой код''': Старший бит используется для представления знака (0 — положительное число, 1 — отрицательное число).
## '''Обратный код''': Для представления отрицательного числа все биты числа инвертируются (0 заменяется на 1 и наоборот).
## '''Дополнительный код''': Для представления отрицательного числа используется обратный код + 1. Дополнительный код является наиболее распространенным способом представления знаковых целых чисел в современных компьютерах, так как он упрощает выполнение арифметических операций.

== Диапазон целых чисел ==

Диапазон целых чисел, которые могут быть представлены в компьютере, зависит от количества битов, используемых для их представления. Наиболее распространенные размеры целых чисел:

# '''8 бит (byte)''': Диапазон от -128 до 127 (знаковое) или от 0 до 255 (беззнаковое).
# '''16 бит (short)''': Диапазон от -32,768 до 32,767 (знаковое) или от 0 до 65,535 (беззнаковое).
# '''32 бита (int)''': Диапазон от -2,147,483,648 до 2,147,483,647 (знаковое) или от 0 до 4,294,967,295 (беззнаковое).
# '''64 бита (long)''': Диапазон от -9,223,372,036,854,775,808 до 9,223,372,036,854,775,807 (знаковое) или от 0 до 18,446,744,073,709,551,615 (беззнаковое).

== Операции с целыми числами в программировании ==

В большинстве языков программирования доступны следующие операции с целыми числами:

# '''Арифметические операции''':
## Сложение (`+`)
## Вычитание (`-`)
## Умножение (`*`)
## Деление (`/`)
## Остаток от деления (`%`)
# '''Операции сравнения''':
## Равно (`==`)
## Не равно (`!=`)
## Больше (`>`)
## Меньше (`<`)
## Больше или равно (`>=`)
## Меньше или равно (`<=`)
# '''Битовые операции''':
## Побитовое И (`&`)
## Побитовое ИЛИ (`|`)
## Побитовое ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ (`^`)
## Побитовое НЕ (`~`)
## Сдвиг влево (`<<`)
## Сдвиг вправо (`>>`)

== Переполнение ==

Переполнение происходит, когда результат арифметической операции выходит за пределы диапазона, представимого данным типом данных. В этом случае результат может быть непредсказуемым и привести к ошибкам в программе.

Пример переполнения:

```
int maxInt = 2147483647;
int result = maxInt + 1; // result будет равен -2147483648 (минимальное значение int)
```

== Применение ==

Целые числа используются в широком спектре приложений, включая:

# Индексация массивов.
# Счетчики циклов.
# Представление дискретных данных.
# Арифметика и вычисления.
# Криптография.

Понимание целых чисел и их свойств является важным для разработки эффективного и надежного программного обеспечения.